Materi Logika Informatika (Proposisi, operator logika, tabel kebenaran, implikasi dan aplikasi)

Logika berasal dari bahasa Yunani, yaitu logos yang artinya kata, ucapan atau alasan. Jadi, logika adalah ilmu untuk berfikir dan menalar dengan benar. Sedangkan informatika adalah disiplin ilmu yang mempelajari transformasi fakta berlambang yaitu data maupun informasi pada mesin berbasis komputasi.

Sehingga bisa disimpulkan bahwa, Logika Informatika adalah disiplin ilmu yang mempelajari transformasi data maupun informasi pada mesin berbasis komputasi dengan penalaran sehingga didapat suatu kesimpulan atau konklusi. Ada beberapa istilah yang akan digunakan dalam logika informatika yaitu :
  • Premis : yaitu sebuah pernyataan
  • Argumen : usaha untuk mencari kebenaran dari premis berupa kesimpulan
  • Konklusi : Kesimpulan

Materi Logika Informatika

A. PERNYATAAN (PROPOSISI)

Proposisi adalah sebuah kalimat pernyataan yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak keduanya. Jadi, intinya pernyataan hanya memiliki satu nilai (true or false). Kalimat berupa perintah, pertanyaan, keheranan, harapan, pengandaian, (semua yang jawabannya relatif), Semua kalimat tersebut bukan pernyataan, karena tidak memiliki nilai pasti (True or False).

Contoh pernyataan:
  1. Indonesia merdeka pada tanggal 17 Agustus 1945. (T)
  2. 1 Juni diperingati sebagai hari lahirnya Pancasila. (T)
  3. Provinsi Sulawesi Selatan terletak di pulau Jawa. (F)
  4. Kota New York terletak di negara Indonesia. (F)

Bukan pernyataan:
  1. Apakah Budi benar-benar tewas?
  2. Seandainya aku punya sayap aku akan terbang, terbang tinggi.
  3. Pergilah! Sebelum aku membunuhmu.

Istilah-istilah lain dari pernyataan adalah kalimat matematika tertutup, kalimat tertutup, kalimat deklaratif, statement, atau proposisi.

Jenis-jenis pernyataan


1. Pernyataan tertutup (kalimat tertutup)

Pernyataan tertutup (kalimat tertutup) adalah suatu pernyataan yang nilainya dapat ditentukan karena telah memiliki nilai benar atau salah.

Contoh pernyataan tertutup:
  • 7+4=10 (S)
  • 4+7=11 (B)


2. Pernyataan terbuka (kalimat terbuka)

Pernyataan (kalimat terbuka) adalah suatu pernyataan yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya karena mengandung suatu variabel yang nilainya belum ditentukan.

Contoh pernyataan terbuka:
  • 7x+3=17
  • 7x+8=7

3.Pernyataan berkuantor

Pernyataan kuantor adalah bentuk logika matematika berupa pernyataan yang memiliki kuantitas. Dalam pernyataan kuantor, pada umumnya terdapat kata semua, seluruh, setiap, beberapa, ada, dan sebagian.

Baca juga: Cara Mudah Melihat Password WiFi yang Tersimpan di Android

Kata-kata yang senilai dengan seluruh, semua, setiap termasuk dalam kuantor universal dan kata-kata yang senilai dengan sebagian, beberapa, ada termasuk dalam kuantor eksistensial. Kuantor universal dan kuantor eksistensial saling beringkaran.

a) kuantor universal (symbol :), kuantor universal adalah kalimat yang mengandung kata “ semua’, “setiap’,”seluruh”, dsb..

Contoh pernyataan kuantor universal:

“Semua siswa SMA memakai seragam putih abu-abu.“

Kalimat ini ekuivalen dengan:
“jika Ani adalah siswa SMA , maka Ani memakai seragam putih abu-abu.”

Negasi dari kalimat ini adalah:
“Tidak semua siswa SMA memakai seragam putih abu-abu.“

Ekuivalen dengan:
“Ada siswa SMA tidak memakai seragam putih abu.”

b) Kuantor existensial, kuantor eksistensial adalah kalimat yang mengandung kata “ ada”,”beberapa”, dsb..

Contoh pernyataan kuantor eksistensial:

“Ada Gunung yang masih aktif mengeluarkan lava.”

Kalimat ini ekuivalen dengan :
“Sekurang –kurangnya ada satu gunung yang masih mengeluarkan lava.”

Negasi dari kalimat ini adalah :
“Semua gunung tidak mengeluarkan lava.”

Suatu kalimat selain dibedakan atas pernyataan dan bukan pernyataan, pernyataan tertutup atau pernyataan terbuka, kalimat juga dibedakan atas pernyataan tunggal dan pernyataan majemuk. Pernyataan tunggal atau pernyataan sederhana yang hanya memuat satu pernyataan, sedangkan pernyataan majemuk dapat merupakan kalimat baru yang diperoleh dengan cara menggabungkan beberapa pernyataan tunggal.

Dua buah pernyataan tunggal dapat dihubungkan oleh perangkai yang biasa disebut operator logika sehingga menjadi pernyataan majemuk.

Contoh pernyataan majemuk:
  1. Sasuke adalah shinobi yang kuat dan Itachi adalah shinobi yang jenius.
  2. Jiraiya akan menjadi hokage jika Pain tidak membunuhnya.
  3. Jika desa Konoha diserang maka desa Sunagakure akan membantu.

Jenis-jenis operator dasar

Dua proposisi (pernyataan) atau lebih dapat diproses menggunakan operator logika. Setiap operator logika memiliki nilai kebenarannya masing-masing.

1. Konjungsi (˄)

Menggabungkan dua pernyataan dengan penghubung "dan" (and). Contoh:
  • P: hari ini hujan
    Q: saya bermain di depan komputer
    P˄Q: hari ini hujan dan saya bermain di depan komputer

2.Disjungsi (˅)

Menggabungkan dua pernyataan dengan penghubung "atau" (or). Contoh:
  • P: hari ini hujan
    Q: saya bermain di depan komputer
    P˅Q: hari ini hujan atau saya bermain di depan komputer

3. Negasi atau ingkaran (~)

Kebalikan dari sebuah pernyataan (not). Contoh:
  • P: hari ini hujan
    ~P: hari ini tidak hujan
*NB: negasi bukanlah kebalikan kata melainkan lawan. Contoh:
  • P: masuk
    ~P: keluar (bukan negasi)
  • P: masuk
    ~P: tidak masuk (negasi)
  • P: malas
    ~P: rajin (bukan negasi)
  • P: malas
    ~P: tidak malas (negasi)

Kesimpulan:
  1. Konjungsi dan Disjungsi merupakan pernyataan majemuk atau menggunakan dua pernyataan (Operator biner).
  2. Negasi/ingkaran hanya menggunakan satu pernyataan atau proposisi yang bukan merupakan gabungan dari dua pernyataan (Oprator Uner).

B. OPERATOR LOGIKA

Operator logika merupakan penghubung antara kalimat pada pernyataan majemuk. Operator logika merupakan hal yang harus anda kuasai karena sebagian besar materi ini berpusat pada pembahasan operator logika dan cara menghubungkan antara satu premis dengan premis lainnya.

Jenis-jenis operator logika dasar

1. Konjungsi (and)

P dan Q

INTI DARI KONJUNGSI:
  • jika 1 pernyataan pada tabel kebenaran bernilai salah (S) maka sudah pasti salah (S).
  • konjungsi hanya bernilai benar (B) jika kedua pernyataan bernilai benar (B) pada tabel kebenaran.
Contoh konjungsi:
  • P: Sasuke rajin belajar
  • Q: Sasuke berbakat
  • P˄Q: Sasuke rajin belajar dan berbakat
  • ~P˄Q: Sasuke tidak rajin belajar dan berbakat
  • ~P˄~Q: Sasuke tidak rajin belajar dan tidak berbakat
  • ~(P˄Q): Sasuke tidak rajin belajar atau tidak berbakat
*NB: ~(P˄Q)≡ ~P˅~Q
≡ disebut ekuivalen.

2. Disjungsi (or)

P atau Q Disjungsi menggunakan kata hubung atau (or) dengan simbol perangkai “˅”.
INTI DARI DISJUNGSI:
  • jika 1 pernyataan pada tabel kebenaran bernilai benar maka secara otomatis bernilai benar.
  • disjungsi hanya bernilai salah jika kedua pernyataan bernilai salah (S) (S) pada tabel kebenaran.
Contoh disjungsi:
  • P: Naruto tidak belajar
  • Q: nilai UTS Naruto tidak bagus
  • P˅Q: Naruto tidak belajar atau nilai UTS Naruto tidak bagus
  • ~P˅Q: Naruto belajar atau nilai UTS Naruto tidak bagus
  • ~P˅~Q: Naruto belajar atau nilai UTS Naruto bagus
  • ~(P˅Q): Naruto belajar dan nilai UTS Naruto bagus
NB: ~(P˅Q)≡ ~P˄~Q

3.Implikasi (if... then...)

Jika P maka Q. P disebut atesenden (sebab) dan Q disebut konsekuen (akibat).
INTI DARI IMPLIKASI:
  • jika pernyataan pertama benar (B) dan pernyataan kedua salah (S) maka hasilnya pada tabel kebenaran bernilai salah (S).
  • selain itu semua hasil implikasi bernilai benar kecuali seperti disebutkan pada inti pertama di atas.
Contoh implikasi:
  • P: saya bosan di rumah
  • Q: saya pergi liburan
  • P→Q: jika saya bosan di rumah maka saya pergi liburan
Dari operator logika implikasi ini memiliki sifat yang berbeda dengan operator logika lainnya. Setiap nilai subtitusi pada operator logika konjungsi, disjungsi, dan bi-implikasi ekuivalen satu sama lain, kecuali implikasi.
Sebagai contoh:
  • P˄Q≡Q˄P
  • P˅Q≡Q˅P
  • P↔Q≡Q↔P
  • P→Q tidak ekuivalen dengan Q→P
Hal ini akan kita pelajari dalam pelajaran berikutnya tentang sifat implikasi: invers, konvers, dan kontraposisi dalam tabel kebenaran.

4. Bi-implikasi (...if and only if...)

P jika dan hanya jika Q. INTI DARI BI-IMPLIKASI:
  • jika kedua pernyataan pada tabel kebenaran bernilai sama baik salah (S) salah (S) maupun benar (B) benar (B) maka hasilnya pada tabel kebenaran otomatis bernilai benar (B).
  • jika nilai pernyataan 1 berbeda dengan pernyataan 2 pada tabel kebenaran maka nilainya otomatis salah (S)
Contoh bi-implikasi:
  • P: desa Konoha hancur
  • Q: Tsunade dan Naruto tewas
  • P↔Q: desa Konoha hancur jika dan hanya jika Tsunade dan Naruto tewas

Penarikan kesimpulan

Dari operator implikasi di atas, terdapat 3 metode penarikan kesimpulan, yaitu modus ponens, modus tollens, dan silogisme.

1.Modus Ponens

Trik modus ponens: hapus pernyataan/premis yang sama untuk menghasilkan kesimpulan.
Berikut beberapa contoh penarikan kesimpulan dengan metode modus ponens:
  • P1: Jika hari Natal tiba maka semua keluarga berkumpul (P→Q)
    P2: Hari Natal tiba (P)
Konklusi: Semua keluarga berkumpul (Q)
  • P1: Jika roti rainbow enak maka saya akan membelinya (P→Q)
    P2: roti rainbow enak (P)
Konklusi: saya akan membelinya(Q)
  • P1: jika hari ini libur maka saya kembali ke kampung (P→Q)
    P2: hari ini libur (P)
Konklusi: saya kembali ke kampung(Q) *NB: P= premis atau pernyataan dan konklusi= kesimpulan.

2. Modus Tollens

Trik modus tollens: tidak ada pernyataan yang benar-benar sama. Pernyataan/premis pertama merupakan kesimpulan dari modus tollens dengan menambahkan negasi/ingkaran pada pernyataan tersebut.
Berikut contoh-contoh penarikan kesimpulan dengan metode modus tollens:
  • P1: Jika natal tiba maka musim panas berlalu (P→Q)
    P2: Musim panas belum berlalu(~Q)
Konklusi: Natal belum tiba (~P)
  • P1: jika hari ini hujan maka Wanda memakai jas hujan (P→Q)
    P2: Wanda tidak memakai jas hujan(~Q)
Konklusi: hari ini tidak hujan (~P)

  • P1: jika saya lulus SBMPTN saya akan bagahia (P→Q)
    P2: saya tidak bahagia (~Q)
Konklusi: saya tidak lulus SBMPTN (~P)

3.Silogisme

Trik silogisme: memiliki tiga premis. Hapus pernyataan yang sama untuk menarik kesimpulan dengan tetap menggunakan perangkai implikasi (jika... maka...).
Berikut beberapa contoh penarikan kesimpulan berdasarkan metode silogisme:
  • P1: Jika musim panas telah berlalu maka Natal sudah tiba (P→Q)
    P2: Jika Natal sudah tiba maka tahun 2017 akan segera berlalu (Q→R)
Konklusi: Jika musim panas telah berlalu maka tahun 2017 akan segera berlalu (P→R)
  • P1: jika blog saya sukses maka saya akan senang (P→Q)
    P2: jika saya senang maka teman-teman saya senang (Q→R)
Konklusi: jika blog saya sukses maka teman-teman saya senang (P→R)
  • P1: jika saya sedang di rumah maka saya bermain gitar (P→Q)
    P2: jika saya bermain gitar maka semua orang menutup telinga (Q→R)
Konklusi: jika saya sedang di rumah maka semua orang menutup telinga (P→R)

C. Tabel Kebenaran

Tabel kebenaran adalah suatu tabel yang menunjukan secara sistematis sebagai hasil kombinasi dari proposisi yang sederhana.

Perangkai Logika

Perangkai – perangkai logika yang digunakan adalah :
PERANGKAI
SIMBOL
Dan (and)
˄
1Atau (or)
˅
Bukan (not)
~
Jika. . . maka. . . (if. . .then. . ./implies)
Jika dan hanya jika (if and only if)

Perangkai logika
dalam bentuk simbol digunakan untuk membuat ekspresi logika. Digunakan konstanta proposional  T untuk  True (Benar) dan F untuk False (Salah).

1.Konjungsi (^)

Konjungsi (conjungtion)  adalah kata lain dari perangkat “dan” (and). Dan mempunyai tabel kebenaran seperti berikut :
A
B
A ^ B
F
F
F
F
T
F
T
F
F
T
T
T
Pada tabel kebenaran konjungsi hanya ada satu nilai T jika kedua pasangan teesebut keduanya bernilai T lainnya pasti F. Perangkai ^ disebut perangkai binary (binary logical connective).
Definisi : misalnya  A dan B adalah proposisi. Proposisi “A dan B” , yang disimbolkan dengan A^B adalah proposisi yang bernilai benar, jika nilai A dan B keduanya benar, jika lainnya pasti salah. Proposisi berbentuk A^B  disebut konjungsi A dan B.
Contoh tabel kebenaran dari perangkai ˄ untuk nilai suatu konjungsi.
A
B
C
A^B
(A^B)^C
B^C
A^(B^C)
F
F
F
F
F
F
F
F
F
T
F
F
F
F
F
T
F
F
F
F
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F
F
F
F
F
F
T
F
T
F
F
F
F
T
T
F
T
F
F
F
T
T
T
T
T
T
T
Jika ada 2 perangkai yang merangkaikan proposisi majemuk A^B^C, maka harus dibaca A^B lalu dirangkai dengan C atau dipastikan dengan tanda kurung (A^B)^C. Tetapi, jika pada A^B^C, B^C didahulukan beri tanda kurung, sehingga menjadi A^(B^C).

Nilai (A^B)^C dan A^(B^C) sama pada setiap pasangan A, B dan C dan jka A, B dan C bernilai T, maka hasilnya juga T.

2. Disjungsi (⌵)

Tanda ⌵ digunakan sebagai perangkai “atau” (or). Tabel kebenaran seperti berikut :
A
B
AB
F
F
F
F
T
T
T
F
T
T
T
T
Nilai A⌵B bernilai F jika nilai A dan B keduanya F lainnya pasti T.
Definisi : Misalnya A dan B adalah proposisi. Proposisi “A atau B”, yang disimbolkan dengan A  B adalah proposisi yang bernilai salah , jika nilai A dan B keduanya salah, Jika lainnya pasti benar, Proposisi berbentuk A B disebut disjungsi A dan B.

3. Negasi (~)


Negasi [ negation ] digunakan untuk menggantikan perangkai “bukan (not)”. Tabel kebenaran seperti berikut :
A
~A
~~A
F
T
F
T
F
T
Negasi kebalikan dari nilai variabel proposisional yang dinegasi. Jika F akan menjadi T dan sebaliknya atau negasi F adalah T.
Definisi : Misalnya A adalah proposisi. Pernyataan “ini bukan A” adalah proposisi yang lain disebut negasi dari A. Negasi dari A diberi simbol ¬A dan dibaca “bukan A”.
Contoh :

Adit lapar atau adit kenyang

Contoh tersebut diubah menjadi variabel proposisional, akan menjadi :

A = adit lapar
B = adit kenyang

Jika diubah menjadi bentuk logika, menjadi seperti berikut :

A = adit lapar
~A = adit kenyang

Sehingga menjadi (A~A).

4. Implikasi (→)

Implikasi [implication] menggantikan perangkai “jika. . . maka. . . (of  then). Tabel kebenaran seperti berikut :
A
B
AB
F
F
T
F
T
T
T
F
F
T
T
T
Keterangan:
A = antecendente
B = consequence

Hanya ada satu nilai F dari ( A→B ) jika A bernilai T dan B bernilai F bukan sebaliknya.

5. Ekuivalensi (↔) / biimplikasi

jika dan hanya jika ( if and only if ). Tabel kebenaran seperti berikut :
A
B
A↔B
F
F
T
F
T
F
T
F
F
T
T
T
Nilai A↔B  mempunyai nilai T jika pasangan A dan B bernilai sama, baik T maupun F, jika pasangan berbeda pasti F.
Definisi : Misalnya A dan B adalah proposisi. Ekuivalensi  “A jika dan hanya jika B” yang disimbolkan dengan A↔B adalah proposisi yang bernilai benar. Jika nilai A bernilai benar dan B bernilai benar dan jika lainnya pasti benar.

6. Perangkai bukan dan( | ) ⇒ Negasi Konjungsi

Tabel kebenaran seperti berikut :
A
B
A|B
F
F
T
F
T
T
T
F
T
T
T
F
Nilai kebenaran dari ( | ) maka hasilnya akan terlihat terbalik dari A^B oleh karena itu disebut  “bukan dan (not and)”.
Definisi : Misalnya A dan B adalah proposisi. Proposisi “A bukan dan B” yang disimbolkan dengan A | B adalah proposisi yang bernilai salah, jika nilai A bernilai benar dan B bernilai benar dan jika lainnya pasti benar.

7. Perangkai bukan atau( ↓ ) ⇒ Negasi disjungsi

Tabel kebenaran seperti berikut :
A
B
A ↓ B
F
F
T
F
T
F
T
F
F
T
T
F
Nilai kebenaran dari ( A ˅ B ) maka hasilnya akan terlihat terbalik dari A ˅ B.
Definisi : Misalnya A dan B adalah proposisi. Proposisi  “A bukan atau B”  yang disimbolkan dengan A B adalah Proposisi yang bernilai salah jika nilai A bernilai benar dan B bernilai benar dan jika lainnya pasti benar.

8. Perangkai XOR ⇒ Negasi Biimplikasi

Perangkai “xor” (exlusive or) mempunyai tabel kebenaran A xor B berikut ini :
A
B
AB
F
F
F
F
T
T
T
F
T
T
T
F

D. Implikasi dan Aplikasi

Sifat Operator Logika Implikasi

Misal:

p : Saya haus
q : Saya lapar

Secara aturan disjungsi bisa dikatakan :

p ˅ q : Saya lapar atau haus
q ˅ p : Saya haus atau lapar

Kedua kalimat memiliki makna yang sama, tetapi hal tersebut tidak berlaku pada operator logika implikasi.

Misal:
p : Anda memiliki password yang benar
q : Anda bisa log in ke akun gmail

Kita dapat membentuk 4 macam implikasi, yaitu :

  • p→q : Jika anda memiliki password yang benar maka anda bisa log in ke akun gmail
  • q→p : Jika anda bisa log in ke akun gmail maka anda memiliki password yang benar
  • ~p→~q : Jika anda tidak memiliki password yang benar maka anda tidak bisa log in ke akun gmail
  • ~q→~p : Jika anda tidak bisa log in ke akun gmail maka anda tidak memiliki password yang benar


Konvers

Jika bentuk p→q diketahui, maka bentuk q→p disebut konvers.
Contoh :

  • Jika saya mempunyai mobil maka saya orang kaya.

    Konvers :

    Jika saya orang kaya maka saya mempunyai mobil.


Invers

Jika bentuk p→q diketahui, maka bentuk ~p→~q disebut invers.
Contoh :

  • Jika saya mempunyai mobil maka saya orang kaya

    Invers :

    Jika saya tidak mempunyai mobil maka saya bukan orang kaya


Kontraposisi

Jika bentuk p→q diketahui, maka bentuk ~q→~p disebut kontraposisi.
Contoh :

  • Jika saya mempunyai mobil maka saya orang kaya.

    Kontraposisi :

    Jika saya bukan orang kaya maka saya tidak mempunyai mobil.


Bentuk Umum

  • Implikasi = p→q
  • Konvers = q→p
  • Invers = ~p→~q
  • Kontraposisi = ~q→~p

Tabel Kebenaran

p
q
~p
~q
p→q
q→p
~p→~q
~q→~p
T
T
F
F
T
T
T
T
T
F
F
T
F
T
T
F
F
T
T
F
T
F
F
T
F
F
T
T
T
T
T
T
Perhatikan bahwa implikasi p→q memiliki tabel kebenaran yang sama dengan kontraposisi ~q→~p, sedangkan konvers q→p memiliki tabel kebenaran yang sama dengan invers ~p→~q. Sifat seperti ini dinamakan ekuivalensi logis.

Implikasi pada Bahasa Pemrograman

Skema singkat implikasi pada program komputer
If C then S
C : Ekspresi logika yang menyatakan syarat/kondisi
S : Satu atau lebih pernyataan

  • S dieksekusi jika C yang diberikan bernilai benar (B), S tidak dieksekusi/tetap jika C yang diberikan bernilai salah (S).
  • Ekspresi logika pada komputer hanya dikenal 3 operator logika yaitu konjungsi, disjungsi, dan eksklusi or (XOR).

Contoh:

Misal dalam sebuah program Turbo Pascal terdapat kondisi:
If x>y then y:=x+10
Akan ditentukan nilai output y setelah pelaksanaan kondisi if-then jika diberikan inputan x dan y sbb:

  • x=2 dan y=1
  • x=3 dan y=5

Jawaban :

  • Untuk x=2 dan y=1, ekspresi x>y bernilai benar (B), sehingga pernyataan y:=x+10 dieksekusi. Nilai output y sekarang menjadi 12.
  • Untuk x=3 dan y=5, ekspresi x.y bernilai salah (S), sehingga pernyataan y:=x+10 tidak dieksekusi. Nilai y tetap seperti saat awal diinput yaitu 5.

Operasi Bit pada Sistem Komputer

  • Bit pada sistem komputer berupa angka 1 dan 0.
  • Barisan atau susunan beberapa bit disebut string.
  • Komputer menggunakan sistem basis dua yang artinya komputer menerima informasi dengan menggunakan bit 1 dan 0.
  • Bit 1 digunakan untuk nilai benar (B).
  • Bit 0 digunakan untuk nilai salah (S).
  • Hanya mengenal operator logika AND, OR, dan XOR.
  • Syarat 2 string dapat dioperasikan adalah jika memiliki panjang yang sama.
Contoh:
Diberikan 2 string x dan y:
  • X=01 1011 0110
  • Y=11 0001 1101
Tentukan hasil dari X^Y, X⌵Y, dan X(+)Y!

Jawab:

Tabel kebenaran untuk X^Y, X⌵Y, dan X(+)Y adalah:
X
Y
X^Y
XY
X(+)Y
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
Jadi, diperoleh hasil sebagai berikut.

  • X = 01 1011 0110
  • Y = 11 0001 1101
  • X^Y = 01 0001 0100
  • X˅Y = 11 1011 1111
  • X(+)Y = 10 1010 1011

Subscribe to receive free email updates:

0 Response to "Materi Logika Informatika (Proposisi, operator logika, tabel kebenaran, implikasi dan aplikasi)"

Post a Comment